Soal Deret Geometri (Pembahasan)

SOAL
Diketahui suatu deret geometri terdiri dari sembilan suku. Jumalah tiga suku pertama adalah 26 dan jumlah tiga suku terakhir adalah 18954. Berapa jumlah sembilan suku deret geometri tsb?
a. 19684
b. 19683
c. 19682
d. 19681
e. 19680

Sebelum kita ke pembahasan, saya cantumkan rumus Baris dan Deret Geometri. Hanya untuk mengingat...

• U_n=ar^n-1
• S_n=a(rⁿ - 1)/r-1 ; r>1 (digunakan jika r lebih dari 1)
• S_n=a(1 - rⁿ)/1-r ; r<1 (digunakan jika r kurang dari 1)

PEMBAHASAN
Dik:
Deret geometrinya
a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷, ar⁸

•  S₃ = U₁ + U₂ + U₃ = 26
= a + ar^2-1 + ar^3-1 = 26
= a + ar¹ + ar² = 26

•  S₉-S₆ = U₇ + U₈ + U₉ = 18954
= a^7-1 + ar^8-1 + ar^9-1 = 18954
= ar⁶ + ar⁷ + ar⁸ = 18954


I. Dengan bentuk seperti diatas, kita tidak bisa langsung men-subsitusikan-nya, harus di sederhanakan lagi…

•  Menyederhanakan bentuk S₃ = a + ar¹ + ar² = 26 untuk mencari a
S₃ = a + ar¹ + ar² = 26
= a (1 + r¹ + r²) = 26
= a = 26/(1 + r¹ + r²)

(maka a sudah diketahui)

•  Menyederhanakan bentuk S₉-S₆ = ar⁶ + ar⁷ + ar⁸ = 18954
S₉-S₆ = ar⁶ + ar⁷ + ar⁸ = 18954
= ar⁶(1 + r¹ + r²)

(S₉-S₆ sudah disederhanakan)

II. a dan r sudah disederhanakan. Maka sekarang tinggal mensubsitusikan saja, a kedalam S₉-S₆ = ar⁶(1 + r¹ + r²) = 18954. Dengan ini maka nanti akan ketemu berapa nilai a dan r.

a = 26/(1 + r¹ + r²)

disubsitusikan ke:

S₉-S₆=ar⁶(1 + r¹ + r²)

= 26/(1 + r¹ + r²) r⁶(1 + r¹ + r²) = 18954
= 26/(1 + r¹ + r²) r⁶(1 + r¹ + r²) = 18954

( (1+r¹+r²) habis dibagi (1+r¹+r²) )

(26) r⁶ = 18954
r⁶ = 18954/(26)
r⁶ = 729
r⁶ = (3)⁶
(sama-sama berpangkat 6 maka bisa langsung dihilangkan)
r=3

(sudah diketahui nilai r=3)

III. Sekaranga kita cari nilai a. Dengan mensubsitusikan nilai r=3 kedalam a = 26/(1 + r¹ + r²)
a = 26/(1 + (3) + (3)²)
a = 26/(1 + 3 + 9)
a = 26/13
a=2

(a sudah diketahui)

IV. nah, r dan a telah diketahui, masing-masing 2 dan 3. Sekarang ke tahap akhir, mensubsitusikan a dan r untuk mencari jumlah 9 suku (S₉) deret geometri tsb. Karena r>1 maka menggunakan rumus;
S₉ = a(rⁿ - 1)/r-1
S₉ = 2(3⁹ – 1)/3-1
S₉ = 2(19683 – 1)/2
S₉ = 19683 – 1 = 19682

Jadi jawabannya, C. 19682

Semoga dapat dimengerti ya... :) klo ada yang bingung silahkan ditanya pada kolom komen...